二阶RC等效电路模型的推导

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01

模型概述

等效电路模型通过建立一个由电阻、电容、电感、电压源等电路元件组成的电路网络以分析电池物理特性，表征电池电气特性。该类模型结构简单、易于辨识，在实时应用中应用广泛。

其中，二阶RC等效电路模型利用RC回路来模拟电池内部的电化学和浓差极化现象，较好地平衡了模型复杂度和精度之间的矛盾，成为最广为使用的模型之一。基于该模型，也可以作为推导更高阶整数阶模型及分数阶模型的基础。因此，本文以介绍二阶RC等效电路模型的推导而展开。所用模型的框图如图1所示，各变量代表的含义如表1所示。模型规定，放电时电流为正，充电时电流为负。

该模型包括三个部分：



图1 二阶RC等效电路模型结构与设定

电压源：如图1虚线框所示，其两侧电势差为电池的开路电压，记为UOC，是关于SOC的一个非线性函数。

欧姆内阻：欧姆内阻由电池内部结构产生，主要是由电池电极材料、隔膜、电解液等产生的电阻和各部分零件机械连接产生的接触电阻组成。

RC环节：即阻容环节，用来模拟电池因浓差极化现象和扩散效应导致的电池在放电结束后电压缓变的过程。浓差极化现象表现为由电池传荷过程产生的极化内阻与电池双电层效应产生的极化电容所组成的RC网络。扩散现象表现为在电池扩散过程中出现的极化电阻、电容。其中，扩散效应的时间常数远大于浓差极化现象的时间常数，因此模型RC环节的时间常数大小应存在数量级上的区别。

表1 等效电路模型变量含义



02

模型时域表达

参考图1，可以得出RC环节在s域中的传递函数如式(1)、式(2)所示。



根据基尔霍夫电压定律，模型端电压等于各环节分压之和，如式(3)所示。



上式(1)~式(3)即为二阶RC等效电路模型在s域中的表达，其中s为拉普拉斯算子。电池在时域中工作，故需要将模型从s域转换到时域进行表达。



图2 二阶RC模型的电流分配

图2是模型在时域中的电流分配情况，I(t)是t时刻电池外部的负载电流，根据电流分配规律有：



对于RC环节，可以列出RC环节上各电阻、电容的电压表达式如下：



对于时域中电流的方向，规定电池放电为正，根据基尔霍夫电压定律，各元件与电池端电压间的电压关系为：



式(5)~式(7)为该模型的时域表达。

可以看出，在式(5)中,UOC可以通过与SOC的关系获取，端电压U可以直接测量，欧姆内阻上的电流为负载电流，也可以直接测量。但RC环节上的电压因为存在上述的积分环节，需要进一步求解。

将式(5)、式(6)整理成微分表达形式如下：



因为：



联合式(1)与式(9)可知，I1关于I2的传递函数GI2(s)为：



同理，传递函数GI4(s)为：



因此，RC环节在其对应电阻分流下的激励响应为：







RC环节的时域响应为其环节的零输入响应与零状态响应之和。由于BMS内置传感器的测量数据均为离散数据，建模时需将时域响应离散化。为了便于数学表述，规定变量下标为离散节点，变量上标作为不同环节的区分。

R1C1和R2C2环节离散化后的零输入响应为：



R1C1和R2C2环节离散化后的零状态响应为：



则RC环节在离散化时域中的电压与电流间关系如式(19)与式(20)所示。



03

模型的状态空间方程

考虑到电路中共有开路电压源和2个RC环节等共3个储能环节，定义状态空间方程维数为3维，分别表示电池的SOC以及RC环节的分压，记为:



由式(4)~式(6)，根据基尔霍夫电流定律可以得到：



将其变形可得到关于电压U1、U2的微分方程：



在测量与数据分析时，均需将方程离散化。假设传感器的采样时间为∆t，求解微分方程式(23)和式(24)，可得：



将其整理可得：



由电池SOC的定义知：



其中，Qn为电池容量，ƞi为库仑效率，通常取0.99~1。

由式(27)~式(29)可以列出状态空间方程为：



参考式(7)，对应输出观测方程为：