【R&D】半主动悬架控制设计系列（七）---鲁棒H∞LPV半主动控制

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本章将扩展Poussot-Vassal基于线性参数可变方法（LPV）提出的半主动悬架鲁棒控制，半主动悬架控制策略目标是最小化鲁棒性能指标，并确保半主动减振器的限制条件满足结构参数和设计策略。从现在开始，这个控制器简称为“LPV半主动”控制器。

这个方法对之前的方法相比，展现出有趣的特性和一些优势。比如复杂的性能定义、传感器类型、鲁棒特性等。

本章结构：8.1回顾可控减振器模型分析和研讨；8.2提出用于合成的广义对象和调度策略；8.3基于该问题求解和控制器重构的线性不等式矩阵；8.4描述LPV半主动控制器的应用；8.5两个控制器参数（舒适性指标和道路保持指标）和线性结果；8.6整车1/4模型非线性时域和频域仿真及性能指标评估；8.7结论和展望。

8.1合成模型
本部分描述LPV半主动控制器设计和合成模型，首先回顾整车1/4模型，然后定义静态减振器模型。8.1.1系统模型∑c
控制设计是基于整车1/4模型的垂向线性控制，符号为∑c，如定义3.7描述，在等式8.1回顾。


k为悬架线性刚度参数（kt为轮胎刚度）z，zt动态的簧上质量和簧下质量Fd是执行器产生的力
Fdin是控制的输入


是设计参数，悬架减振器标准阻尼系数，这个参数在设计过程中扮演重要角色。应用的控制法则如下



设计控制器提供额外的力，为考虑执行器耗散限制和边界，提出了一种基于LPV凸多面体理论采用鲁棒性能指标的新方法。8.1.2执行器模型根据定义3.7，半主动减振器依据一个可控减振器的静态速度-力地图模型化。明确出可实现的上界和下界。定义如8.1定义8.1（可控减振器区域）数字化可控减振器区域或减振器可实现力区域（符号表达为

，定义如下



区域依据可控减振器特性，如下参数确定：1）cmin是减振器最小阻尼系数；2）Cmax是减振器最大阻尼系数；
3）

是标准减振器阻尼系数。



静态模型是一个关于位移速度的饱和函数，我们定义削波函数

。

定义8.2（削波函数）由于可控减振器限制条件，削波函数

定义为：



Fdin是可控减振器提供需要的力，

是Fdin在

区域的正交投影。
8.2 LPV半主动控制方法和调度策略本部分描述LPV半主动控制方法，由于这个方法是基于特定的LPV模型，需要首先回顾下关于LPV模型相关定义。广义控制方案和可变参数定义一起阐述。8.2.1 LPV凸多面体系统的基本定义在阐述基于LPV理论的控制设计，为了完整性的目的，下面先回顾下（凸多面体）LPV动态系统的广义定义。
定义8.3（LPV动态系统）给定线性矩阵函数


线性参数可变（LPV）的动态系统（∑LPV）定义如下：

ρ(.)=ρ，一个常量，（8.5）是一个线性时不变（LTI）系统；
ρ(.)=ρ(t)，参数是提前已知的，（8.5）是一个线性可变（LTV）系统；

ρ(.)=ρ(x(t)),（8.5）是一个准线性参数可变（qLPV）系统；

ρ(.)=ρ(Ω)，Ω是一个外源信号，（8.5）是一个LPV系统。

定义8.4（凸多面体LPV动态系统）如果一个LPV系统按如下表达，则成为凸多面体LPV。


Co{X}来源于凸集X∈V（实向量X的一系列点形成的凸壳或凸包是包含X的最小凸集）。ωi是每个变量极限

  形成的凸多面体顶点。αi(ρ）定义如下



是向量

的第k个元素，定义如下：

N=

可变参数ρi极限的凸多面体的顶点数量，Ai、Bi和Ci是已知的矩阵（代表在每个顶点的系统评估，如Ai=A(ωi）、Bi=B(ωi）、Ci=C (ωi）、Di=D(ωi））。要想知道更多LPV模型细节和这些系统特性，读者可以参考Biannic和Bruzelius的PhD理论。8.2.2 广义LPV对象（∑g(ρ)）和问题定义如之前解释，我们的目的是设计一个控制器实现H∞衰减性能，并同时满足半主动的约束条件。为了实现这个目的，选择如图8.3的广义控制方案和如下要求

是用于合成的线性整车1/4模型，如定义3.7和8.1回顾输入权重函数（Wi）定义为：

Wzr用来模拟道路干扰zr的影响

Wn用来处理测量噪音n

输出权重函数(Wo(ρ))定义为：


Wz用来权重簧上质量行为z（舒适性相关）Wzt用来惩罚簧下质量行为zt（道路保持相关）
WFd(ρ）用来修改输入信号Fd的幅值，具体来讲，根据信号ρ，它或多或少的惩罚控制信号。在下部分，权重函数的作用是保证半主动被显重。在这个情况下，定义这个滤波器是取决于ρ的线性。调度参数目的是保证控制器的半主动性。作如下选择：




，且WFd是一个严格合适的LTI滤波器。由于涉及在H∞框架下制定，注意如下：1）当ρ高时，WFd(ρ)是大的，因此它倾向于减弱Fd信号；2）当ρ低时，WFd(ρ)是小的，因此它不倾向减弱Fd信号。定义8.5（LPV半主动广义系统形式）我们认为图8.3展示的是这个系统，系统∑c(c0)由（8.1）阐述。半主动广义系统（∑g）定义如下

且






注意8.1（参数化Wi和Wo(ρ)）由于加权滤波器决定了获得的开关性能（如要同时实现舒适性和道路保持性能，它们需要更加准确，如8.5阐述）。即使系统


是LTI，广义系统（∑g）是LPV，由于至少一个权重滤波器是参数相关的。

在H∞方法中，控制合成基于干扰衰减问题。它致力于找到稳定的控制器来最小化输入干扰对控制输出的冲击。在LPV H∞控制情况下，由于引入标准

，冲击一定是可测的，这也被称为H∞问题，如图8.4所示。下部分将介绍问题的解决方法。

8.2.3 参数ρ的调度策略
LPV半主动控制设计的根本想法是当需求力属于允许的半主动区域

，增大控制增益Fdin。当需求力在允许区域外，则为标准阻尼。为了满足耗散减振器的约束条件（见下部分），参数ρ需要用特殊方法调校。当ρ高时，WFd (ρ)较大，因此，它倾向减弱Fd信号当ρ低时，WFd (ρ)是小的，因此，它倾向于不减弱Fd信号。
因此，从一个广义角度看，ρ可以看成一个抗积分饱和信号，在可控减振器模型上计算，和可变饱和度相似。为了这个目的，定义调度策略ρ(ε)如下



ε 是需求力和区域  实际力的距离，u是设计参数，改善函数ρ(ε)死区，参数u理论上为零。因为数字化原因，u会被选取为非常小（如u=0.1）来保证半主动控制。为了保证半主动约束和问题数字化处理，这种选择是合理的。

注意8.2（关于调度参数ρ(ε)）
在（8.16）ρ(ε)属于闭集

，对于LPV架构工作十分重要；


调度参数与抗积分饱和补偿器理论十分相似，它以死区函数的形式表达衰减。由于衰减取决于系统状态，死区是时变的。

8.3 基于LPV半主动控制器综合的H∞LMI
分析一个基于控制器C(ρ)的参数以满足一些性能指标并同时满足半主动性。换句话说，当需求和允许的时候，增加一个力

，当没有外力时取标准解。LPV的架构分析和性能通过H∞性能指标来表达。这部分，LPV半主动控制问题的H∞LMI解分两步描述：
1）问题可行性和控制器重建；2）数字化问题和LPV半主动控制综合算法。8.3.1 问题可行性和控制器重建如图8.3，对于广义LPV对象WFd (ρ)（针对控制信号的性能指标）和ρ相关，我们回顾下H∞架构，这个权重代表了控制信号可实现的最大增益。一般经验法则为：1）选择一个大的ρ使控制信号较小，当ρ最大时，控制信号非常小，实际上为零。即控制信号为Fdin=0；2）选择一个小的ρ使控制信号较大，在这种情况，控制信号不再被惩罚，控制信号会

。从LTI系统扩展的LPV系统的H∞控制合成解，下面的命题用多面体方法解决H∞LPV半主动问题。命题8.1（可行性-基于LPV半主动的H∞LMI），如图8.4，∑g(ρ)由8.14的状态空间定义。存在一个全阶动态输出反馈控制器：


命题8.2（重建-基于LPV半主动的H∞LMI），如果8.1的控制器C(ρ)存在，在多面体每个顶点处求解下列方程组，可以使控制器重建。



更多关于LMI的细节，读者可以参考Apkarian和Gahinet的研究，证明和评价体现在Poussot-Vassal的PhH理论里。

8.3.2 数字化问题和LPV半主动合成算法
以上命题用来保证LPV半主动控制器的可行性和重建，这里给出了一些额外的实际问题：注意8.3（条件改善）为了数字化问题，LMI（8.20）应该先求解，找到最优边界。然后，LMI（8.20）应该以固定衰减

（v视为衰减百分比）来再次求解。在第二步，不等式8.21可以替换为

α＞0，要做的优化包括最大化α，这个过程最大化XY的最小特征值（被I推开），这避免了在控制器重构步骤中M和N转换时出现不良条件。根据这些定义和注意，算法3可以用于H∞半主动悬架控制器合成。算法3 H∞LPV半主动悬架控制器设计



下部分，将回顾控制器的实施方案。8.4 控制器实施和在线调度基于多面体LPV H∞合成基础应用LMI（8.3部分阐述）到广义对象（8.14），

在提供这个仿真结果前，给出了该策略实施方案的概要，图8.5展示了任何一种半主动执行器的实施概要。1）“SA mdl”是应用的半主动减振器模型（

），可控减振器的上/下限阻尼系数的静态模型；2）ρ(ε)是8.16给出的调度法则；3）“SA act”考虑真实减振器执行器并修改阻尼系数；4）Fdin、Fd和ρ是之前描述的控制和调度信号；5）Ω用来定义真实可控减振器（SA act）的输入参数集合。如图示，对于MR减振器，真实控制输入为IMRD，电流改变磁流变流体粘度；因此，在MR减振器执行器条件下，力Fdin需要被转换为电流。另Ω=IMRD。对于其他半主动执行器，控制输入依据选择的技术路线，可以是机械的、气动元件和其他阻尼器输入变量。

注意8.4（关于实施）

该方案适用于任何悬架控制方法，优势在于所需的力Fdin一直处于可控半主动执行器的允许范围。

如果执行器的动态模型是可靠的，它可以通过WFd(ρ)权重函数的均值来包含在合成中。
8.5 控制器参数化
在控制设计步骤，获得的性能高度取决于权重函数定义（Wi和Wo(ρ)）,到目前为止，只对控制问题和解进行了研究，在下部分，将展示两个参数化控制器的例子，权重函数定义如下：

1）舒适性（用z行为表达）

2）道路保持(用zr行为表达）

均可以适用于整车1/4模型，得到控制器合成结果后，非线性时间和频率仿真来展示设计的效率。在这部分，采用表1.2提供的摩托车数据。

注意8.5 几乎可以有无数方法来数字化性能权重。在后文，阐述两种权重配置加强舒适性和道路保持能力。通过权重函数描述可以改善这些选择。

8.5.1 面向舒适性的控制器参数化（contoller 1）

为了实现舒适性技术定义，旨在承载簧上质量行为z，选择如下可控输入和权重函数：


且

合成后（根据算法3），用YALMIP程序和SeDuMi半定义问题求解器，可获得波特图和衰减边界γ，见图8.6.

从图8.6，可以看出
当ρ小时，传递函数Fz的感性频率得到全局改善（图8.6顶部），传递函数zt/zr是恶化的（图8.6底部）；

当ρ大时，闭环行为与阻尼系数为标准值（c0=1500）的被动悬架相似；
因此，当控制器提供的力位于可控减振器可实现区域  ，整车1/4模型舒适性行为被改善（道路保持性能恶化）。但当控制器提供的力位于可控减振器可实现区域外，控制器提供标准阻尼系数，这样才能回到允许区域。
8.5.2 面向道路保持的控制器参数化（contoller 2）
与之前面向舒适性的参数化相似，为了实现道路保持技术定义，旨在惩罚簧下质量行为（zt），选择如下可控输入和权重函数：




合成后（根据算法3），用YALMIP LMI程序和SeDuMi半定义问题求解器，可以得到波特图和衰减边界γ，见图8.7。

从图8.7，可以看出1）当ρ小时，传递函数Fzt的感兴趣频率得到全局改善（图8.7底部），但传递函数Fz是恶化的（图8.7顶部）；2）当ρ大时，闭环行为与标准阻尼系数的被动悬架相似

；与前面舒适性例子相似，当控制器提供的力位于可控减振器可实现区域

内时，整车1/4模型的道路保持能力得到改善（舒适性恶化）；当控制器提供的力在可控减振器可实现区域外，控制器提供标准阻尼系数的力，为了回到允许的区域。
8.6 数字化讨论和分析

如8.6和8.7给出的波特图展示的在不同参数ρ的零值时的系统频率行为。由于ρ不是由司机选择，而是由8.2定义的调度策略来选择。本部分将阐述在调度策略下系统非线性频率响应（FR）和性能评估，来评估控制器1和控制器2的舒适性和道路保持改善情况，并检查是否满足半主动约束。如下信号将被分析：

1）SER图（控制力vs位移速度），用来检查半主动约束。见图8.8和8.10；

2）

用来评估舒适性，见图8.9和8.11顶部；
在这部分，采用表1.2提供的摩托车数据。还有，减振器模型的可控区域

定义为cmin=900Ns/m，cmax=4300Ns/m；






8.6.1 非线性频率响应

1）如图8.8完全实现了半主动约束，注意在这个图中，被提供的力最重要的部分是和低阻尼相关的部分，与舒适性目标相关，并可以衰减簧上质量的震荡；

2）通过与标准阻尼值的被动减振器对比，可控减振器的舒适性特性：控制器1提供较好的Fz传递函数的衰减性（见图8.9顶部）；

3）道路保持性能恶化即传递函数恶化，尤其是在高频区域（见图8.9底部）。

与先前的参数化相似，根据第二个控制器参数化可以得到如下注意和评价：

1）在图8.10，完全实现半主动约束；注意在这个图，提供的力最重要的部分是等于高频区域的值，与道路保持能力、轮胎最小变形指标一致；

2）相对采用标准阻尼值的被动减振器，可控减振器提供的舒适性变差，控制器2提供较差的传递函数衰减（见图8.11顶部）；

3）相反，根据设计目标，因为减小，尤其是在高频部分，道路保持性能加强（见图8.11底部）。


8.6.2 性能指标先前的图展示了频率响应和方法的改善效果。采用第四章介绍的评价指标，测量改善结果并与先前算法比较。在图8.12和8.13中，对比评价了参数化控制器和先前阐述半主动控制策略的改善效果。
图8.12和8.13在FR图上证实了观察结果，然后从一个全局角度，作如下结论：

1）根据参数化目标，控制器1（相对控制器2）设计采用LPV半主动方法展示了对舒适性指标Jc的改善效果；
2）与其他控制设计对比，LPV半主动控制器1和2提供更好的性能指标（舒适性和道路保持）。3）8.6.3 颠簸测试颠簸测试是对三角形减速带路况的经典响应，这个激励非常贴近真实，以速度30km/h过高60mm的减速带。在如下图中，LPV半主动控制策略与被动系统对比评价。控制器1参数化（面向舒适性）与控制器2参数化（面向道路保持）对比分析。在图8.14和8.15中，展示了车身位移和悬架行程的响应。这时，得出与之前频域分析一致的结论：
1）LPV半主动控制器1参数化提供更好的阻尼，过滤颠簸；同时LPV半主动控制器2展示了更坏的信号幅值；

2）相反的，控制器2展示出对悬架位移幅值的限制以改善道路保持行为。








图8.16展示了簧下质量位移和轮胎变形的响应。这时，得到与先前频域分析一致的结论：
1）从车轮颠簸过滤效果看，LPV半主动控制器1参数化提供更差的阻尼；而半主动控制器2阻尼信号更好；2）改善轮胎变形量的试验并未分析，但控制器2可限制轮胎的变形（见图8.11底部）。在图8.17，力-位移速度图展示完全满足半主动执行器限制。还有证明先前FR图1）LPV半主动控制器1参数化（舒适性）主要提供低阻尼参数；2）LPV半主动控制器2参数化（道路保持）主要提供高阻尼参数。这些观点与舒适性、道路控制改善的理念是一致的。



8.7 结论

在本章，提出LPV半主动控制策略，以满足半主动悬架的耗散约束。同时保证H∞控制设计的优势和灵活性。这个方法的主要特点如下：
1）灵活设计（1）：可以采用多种方法H∞、H2、极点配置、混合指标；2）灵活设计（2）：无限制的参数化是可行的（这里两个参数化模型改善了舒适性或道路保持）；3）测量：需要悬架位移；4）计算：基于静态执行器模型（没有在线优化过程），合成产生两个控制器和一个简单的调度策略；5）由于LPV H∞设计，对于所有

保持内部稳定；6）实施：解决方案对于任何一种半主动执行器是可行的。在提出的LPV 半主动控制策略，通过LPV设计来处理半主动约束。在这个方法中，可变参数用来改善控制性能。通过频域和时域仿真，与现有的半主动控制器相比，提出的控制器展示出优秀的性能结果。LPV 半主动控制策略展现出可实现性能的明显改善并具有不可忽略的灵活性。与LQ和MPC技术相比，从控制器阶数和1个传感器数量看，这个控制器实施提供了一个低成本解决方案。与SH-ADD相比，它呈现出更多的灵活性，但解决方案更复杂（从计算角度看），这个方法也适用于各类半主动执行器。PS前期付费阅读的小伙伴微信联系小编，可获取相应章节word电子版。完整电子版书籍（35元）购买者请添加小编微信联系购买。