RC电路的τ原来这么算

lidenghui

RC滤波电路里的时间常数

本来想写一下绝缘检测电路里面桥臂电阻对精度的影响，结果写着写着发现需要用到RC电路中的时间常数，然后又不记得3τ的时间时电压上升到多少了，没办法回头翻翻十年前那本电路书，邱关源老师主编，高等教育出版社初版的这个，估计大家学的都是这本。

先画个最简单的RC电路，就是下面这个。


然后我开始抄书上的内容，内容如下：（本来在word上辛苦编辑的公式，复制不上来，下面公式基本都是截图）电容的电荷q=C*u；流过电容的电流：

反过来：

这时候假设初始状态开关未闭合，这时候电容C两端的电压为0V；开关闭合后的时间t时刻，由于蓄电池U一直在给电容充电，这时候电容的电荷为：

由于


则电容两端的电压：

根据电路的基尔霍夫电压定律（KVL：沿任一回路的，所有支路电压的点数和恒等于零），电容充电的过程中，电流的方向是顺时针，列出方程如下：


到这里我又忘了怎么去推导这个非齐次一阶微分方程，回头又去找书翻了一下，只能庆幸我还记得这是个一阶微分方程，不然都不知道怎么翻书了：

求解出来就是这个结果：

因此，充电的时候，电容两端的电压u（t）与电源电压U之间的关系就是这样：
当t = RC时，u = 0.63U；

当t = 2RC时，u= 0.86U；

当t = 3RC时，u = 0.95U；

当t = 4RC时，u= 0.98U；

当t = 5RC时，u= 0.99U；
放电的时候，百度百科直接有很详细的推导公式和过程如下：