振动结构模态分析

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振动结构模态分析 –曹树谦
天津大学力学系开展振动结构模态分析(以下简称模态分析)的研究和教学工作已有20多年了。期间为一般力学、结构工程、机械电子工程、水利工程、船舶工程、内燃机、汽车、核物理等专业的研究生和高年级本科生开设了模态分析课程。特别是自20世纪80年代初，天津大学力学系对模态分析的研究和应用有了很大的发展，完成了多项科研项目，提出了适于大型结构的、简单实用的分区模态综合法和随机冲击激励技术。
早在1987年，萧龙翔教授就已编写了《振动结构模态分析基础》一书。此书在历届学生的使用中收到了良好效果。在该书的基础上，我们总结了近二十年的工作经验，纳入了最近的研究内容，并吸收了国内外同行的大量研究成果，重新编写了这部著作。
    20世纪70年代到80年代中期，是模态分析理论及技术实现成熟的阶段，并逐步在各个工程领域内应用。此时航空航天、机械、化工、交通、结构、水工、船舶、内燃机等涉及振动工程的领域都有模态分析的应用，模态分析已从研究机构走向各个工程设计单位。作为一种有效、可靠的测试手段，模态分析已成为结构设计中一项常规的辅助方法。在各高等工科院校也相继开设了模态分析课程。该课程并逐步由一门力学专业课转变成一门相关学科的专业巨大成就课。它不仅作为研究生的专业技术课，也是高年级本科生的专业选修课。
    80年代中期到90年代，是模态分析应用的黄金时期。在结构动力修改、结构优化设计、故障诊断、状态监测、声学分析等诸多领域内，模态分析由单一、直接应用发展到与多种方法的综合应用，特别是国境线实验模态分析（EMA）和有限元法（FEM）两种基本方法，在众多领域开展了大量的工程应用研究工作，提出了繁多的综合研究方法，使结构动态设计日趋成熟。
有关模态分析的著作并不多见，作为高等院校相关专业的教材更是凤毛鳞角。鉴于此，本书并不完全以专著形式编写，而兼顾教材的特点，以模态分析的基本理论、基本方法为主线，兼论模态分析的最新动态。在编写中力求做到前后统一，包括符号的使用和内容的联系待方面。在所有方法的推导力求严谨、准确、完整，并尽量用矩阵运算，以期简明。在每章后面附有思考题，以求帮助学生基因所学的内容。本书最后附有实验指导书，便于实验教学。
本书只限于论述线性模态分析。近几年来，以现代非线性动力学理论为基础的非线性模态分析悄然兴起，并成为非线性振动研究中的热点之一。其原因是工程研究中存在着大量的非线性问题。以传统的线性模态分析无法得到准确的结果，迫切需要提出新的理论和方法加以解决。由于非线性模态分析理论尚不成熟，应用更有困难，故未列入本书。
本书共分为六章。第一章为模态分析理论基础，论述线性模态分析的基础理论；第二章为时间历程的测量，论述有关实验模态分析的时域振动信号测试技术；第三章为动态测试后处理，论述非参数模型识别的基本处理方法；第四章为模态参数识别的频域方法，介绍常用的单模态识别法、多模态识别法及分区模态综合法和频域整体识别法；第五章为模态参数识别的时域方法，介绍常用的局部识别法和整体识别法，包括单入单出（SISO）、单入多出（SIMO）、和多入多出（MIMO）识别法；第六章为模态分析在工程中的应用，介绍模态分析在结构性能评价、结构动态设计、故障诊断、状态监测及声控分析等方面的应用方法及工程实例，特别是将结构动态设计中的众多方法进行了系统整理，归纳为六大类问题，即载荷识别、灵敏度分析、物理参数修改、物理参数识别、再分析和结构优化设计。这种归类使模态分析在结构动态设计中的应用一目了然。本书第1、3、4、5章及第6章大部分内容由曹树谦编写，第2章及第6章第2节和实验指导书由张文德编写。整体思路由萧龙翔主持共同讨论拟定。郎作贵高级工程师对全书提出了许多宝贵意见，陈璐女士对全书数次易稿进行了文字处理并制作了多幅插图，孙洪军也提供了许多 帮助，在此一并致谢。
天津大学霍拳忠、徐燕申两位教授对本书进行了全面、细致的审阅，作者特别在此致谢。本书还得到国家工科力学教学基地、天津市教委资助项目、天津市21世纪青年基金项目的支持。由于编者的水平所限，书中错误在所难免，恳请同行不吝赐教。

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一般的振动问题由激励(输入)、振动结构（系统）和响应（输出）三部分组成，根据研究目的的不同，可将一般振动问题分为以下几个基本类型。
1、        已知激励和振动结构，求系统响应
这是振动的正问题，称为系统动力响应分析 。这是研究得最早最多的一类问题。当人们发现仅由静力分析不能满足产品设计要求时，便开始详细研究基于动力学理论的系统动力响应问题。根据已知的载荷条件，对振动结构进行简化而得到可求解的数学模型，通过一定的数学方法求解出振动结构上关心点的位移、应力、应变等结果，以此为依据对已设计好的振动结构进行考核。不满足动态设计要求时，需要修改结构。这一基本分析过程至今仍广泛应用于工程问题中，特别是基于线性模型的假设的振动理论，已发展至十分成熟的阶段，而许多工程问题应用这一理论能得到相当满意的结果。
求解系统动力响应最成功、最实用的方法莫过于有限元分析法（FEM）。通过对振动结构的离散化并考虑适当的边界条件和连接条件，可以很容易求解各种复杂结构在复杂激励作用下的响应。如果模型合理，能得到较满意的结果。这为振动理论的实用化创造了最有利的条件，特别是仅根据图纸便可以十分方便地得到振动结构修改后的动态效果。
2、已知激励和响应，求解系统参数
这是振动问题的一类反问题，称为系统识别（辨识）。这一类问题的提出实际是源于第一类基本问题，尽管已知激励和振动结构可求得响应，但许多情况下响应结果并不满足要求，需要修改结构。这时结构修改往往只凭经验，带有很大的盲目性。不仅效果常常不满意，效率也很低，经常反复多次才能达到基本满意的结果。有限元法是进行结构修改的有力工具，然而有限元初始建模往往存在较大的误差。鉴于此，众开始探索根据激励和响应反推振动结构参数的规律和方法。对大多数问题，输入、系统和输出三者有着确定性的关系，只有少数非线性问题这种确定性关系并不存在。因此，人们以一定假设（如线、定常、稳定假设）为前提，以一定理论（如线性振动理论—）为基础研究得到了系统重构（识别）的多种方法。当然，这些方法的实施需要有赖于其他若干种理论和方法。

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经常把一个系统（振动结构）模型分成三种：
一种是物理参数模型，即以质量、刚度、阻尼为特征参数的数学模型，这三种参数可完全确定一个振动系统；
二种是模态参数模型，以模态频率、模态矢量（振型）和衰减系数为特征参数的数学模型和以模态质量、模态刚度、模态阻尼、模态矢量（留数）组成另一类模态参数模型，这两类模态参数都可以完事描述一个振动系统。
三种非参数模型，频响函数或传递函数、脉冲响应函数是两种反映振动系统特性的非参数模型。
    根据上述分类的方法，系统识别也分为三种：
    一种是物理参数识别，以物理参数模型为基础，以物理参数为目标的系统识别方法，称为物理参数识别，这是进行结构动力修改的基础；
   二种是模态参数识别，以模态参数模型为基础，以模态参数为目标的系统识别称为模态参数识别，因为模态参数较物理参数更能从整体上反应系统的动态固有特性，而且参数少得多，所以，进行模态参数识别是进行系统识别的基本要求，也是进行物理参数识别的基础，许多问题实际上只做到模态参数即可达到目的，模态参数识别是模态分析的主要任务；
三种是非参数识别，即根据激励和响应确定系统的频响函数（或传递函数）和脉冲响应函数。一般来讲，非参数玩世不恭的辨识不是进行系统识别的最终目的，但可通过非参数模型进一步确定模态参数或物理参数。
以上三种系统识别的关系是从已知激励和响应求系统的角度论述的，事实上，三种模型等价。广义上讲，从一种模型可以确定另外两种模型，如果从系统的物理参数模型可得到模态参数模型，进而导出非参数模型，这实际上是振动理论的基本内容之一，也是进行系统识别的理论基础。

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2、        已知系统和响应，求激励
这是另外一种振动反问题。如车、船、飞机的运行，地震、风、波浪引起的建筑物振动等问题，在这些问题中，已知振动结构并较容易测得振动引起的动力响应，但激励却不易确定。为了进一步研究在这些特定激励下原振动结构及新振动结构的动力响应，需要确定这些激励。当然，大多数情况下需要用统计特性描述，这样的问题通常称为环境预测或环境模拟。另外一些问题，如旋转机械的振动、爆炸冲击引起的振动等，也难以知道激励情况，需要通过结构和响应反推激励。故这类问题也称载荷识别。
至此，尚未对模态分析给出定义，一般地，以振动理论为基础，以模态参数为目标的分析方法，称为模态分析。更确切的说，模态分析是研究系统物理参数模型、模态参数模型和非参数模型的关系，并通过一定手段确定这些系统模型的理论及其应用的一门学科。振动结构模态分析则是指对一般结构所做的模态分析。
按照振动结构非线性程度大小，可将系统简化为线性系统和非线性系统。因而，所进行的系统识别也有线性系统和非线性系统识别之分。以往的模态分析均限于线性系统即线性模态分析。近几年来不断有人提出非线性模态分析的问题，但远远未达到线性模态分析的成熟地步。由于线性模态分析在处理非线性系统时存在较大的误差，相信基于非线性振动理论的非线性模态分析将会越来越得到重视。
根据研究模态分析的手段和方法不同，模态分析分理论模态分析和实验模态分析。理论模态分析或称模态分析的理论过程，是指以线性振动理论为基础，研究激励、系统、响应三者的关系，如图2所示:

                        （理论模态分析）

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实验模态分析（EMA）又称模态分析的实验过程，是理论模态分析的逆过程，如图三所示。首先，实验测得激励和响应的时间历程，运用数字信号处理技术求得频响函数（传递函数）或脉冲响应函数，得到系统的非参数模型；其次，运用参数识别方法，求得系统模态参数，最后，如果有必要，进一步确定系统的物理参数。因此，实验模态分析是综合运用线性振动理论，动态测试技术、数字信号处理和参数识别等手段，进行系统识别的过程。本书主要讨论实验模态分析。
         非参数模型-----模态参数模型----物理参数模型
                     图三  实验模态分析
计算模态分析实际上是一种理论建模过程，主要是用有限元法对振动结构进行离散，建立系统特征值问题的数学模型，用各种近似方法求解系统特征值和特征矢量。由于阻尼难以准确处理，因此通常不考虑小阻尼系统的阻尼，解得的特征值和特征矢量即系统固有频率和固有振型矢量。
模态参数识别是实验模态分析的核心。模态参数识别已发展有多种成熟的方法，最常用的方法是基于最小二乘法的曲线拟合法。其含义是：根据理论模态分析选择适当的数学模型，使测得的实验模型与数学模型之差最小。
按照不同的非参数模型，模态参数识别分为频域模态参数识别和时域模态参数识别。以频响函数（传递函数）为基础的参数识别称为频域参数识别；以时域信号（脉冲响应函数或自由振动响应）为基础的参数识别称为时域参数识别。频域法已发展得相当成熟、实用。由于时域法所用设备简单，尤其是可只根据自由响应而无需激励就可进行参数识别而受到普遍重视。
在识别除振型外的其他模态参数时，按照使用响应信号的数目分为局部识别和整体识别两种；按照使用激励和响应的数目分为单人单出（SISO ）识别法、单人多出〔 SIMO ）识别法和多人多出（MI' MO ）识别法。SISO属于局部识别，SIMO和MIMO 属于整体识别。在SISO频域模态参数识别中，按照模态密集程度不同，可分为单模态识别和多模态识别。前者将待识别的各阶模态看作与其他模态独立的单自由度系统，适于阻尼较小、模态较分散的情形；后者将待识别的几阶模态看作藕合的，并考虑拟合频段以外的模态影响。对于阻尼较大、模态较密集的情况，必须用多模态参数识别法。
    在模态分析中，阻尼是一个较难处理的问题。根据结构性质不同，常用到粘性比例阻尼、般粘性阻尼、结构比例阻尼与结构阻尼四种阻尼模型。在不同阻尼模型下，振动系统模态参数的性质不同。根据模态矢量是实矢量还是复矢量，振动系统分为实模态系统和复模态系统。无阻尼和比例阻尼系统属于实模态系统，而结构阻尼和一般粘性阻尼系统属于复模态系统。因此，对应系统的模态分析有实模态分析和复模态分析两种。
    经过半个多世纪的发展，模态分析已经成为振动工程中一个重要的分支。早在20 世纪四五十年代，在航空工业中就采用共振实验确定系统的固有频率。60 年代，发展了多点单相正弦激振、正弦多频单点激励，通过调力调频分离模态，制造出商用模拟式频响函数分析仪。60 年代后期到70 年代，出现了各种瞬态和随机激振、频域模态分析识别技术。随着FFT数字式动态测试技术和计算机技术的飞速发展，使得以单人单出及单人多出为基础识别方式的模态分析技术普及到各个工业领域，模态分析得到快速发展日趋成熟，商用数字分析仪及软件大量出现。80 年代后期，主要是多人多出随机激振技术和识别技术得到发展。80 年代中期至90 年代，模态分析在各个工程领域得到普及和深层次应用，在结构性能评价、结构动态修改和动态设计、故障诊断和状态监测以及声控分析等方面的应用研究异常活跃，尤其是基于FEM、EMA和最优控制理论的结构动态修改和动态设计，取得了丰硕的研究成果。目前，模态分析技术在我国已成为一门重要工程技术，而不仪仅是研究单位从事研究的理论课题。