用AutoLISP程序设计盘形齿轮铣刀渐开线齿形

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1 引言



　　图1所示的盘形齿轮铣刀结构简单、使用方便，被广泛用于中、小模数齿轮的小批量加工或修配。但由于这种铣刀渐开线齿形的设计和加工存在较大理论误差，因此被加工齿轮精度较低。盘形齿轮铣刀渐开线齿形的设计方法通常是在渐开线范围内选取6～20个点，通过计算或查表得出每个点的坐标，然后依次连接各点，即可得出近似的渐开线齿形(检验样板也可按此方法设计)。这种设计方法存在一定缺陷，如取点过少，则设计精度不高；如取点过多(远多于20点)，则计算繁琐，且得到的近似渐开线齿形不便于采用高精度数控机床进行后续加工。为此，本文采用AutoCAD内嵌的AutoLISP程序来设计直齿圆柱齿轮盘形铣刀的渐开线齿形。该方法可获得理论精度较高的渐开线，且便于齿形的后续数控加工。
2 设计原理与方法
渐开线上任意点的坐标计算
　　直齿圆柱齿轮盘形铣刀的齿形如图2所示。图中，曲线BD为渐开线，其中BA部分与被加工齿轮的渐开线齿廓相同，AD部分为齿顶圆以上的渐开线，是专为铣刀增设的部分，其取值根据不同的设计资料而有一些差异。可认为AD 的大小与齿轮模数m 有关，此处取rd=ra+0.2m。设被加工齿轮中心为坐标原点，oy 为齿槽对称线，则有 wx=wb+qx=wb+invax (1)
式中：ax=arccos(rb/rx)
wb=w-inva
由图2 可知： w=(p-4xtana)/2z+∆s/mz (2)
式中：∆s??分度圆齿厚减薄量(一般取∆s=0)
z??齿数
m??模数
x??变位系数
rd.最大圆半径 r.分度圆半径 ra.齿顶圆半径 rb.基圆半径 rf.齿根圆半径 rx.任意点圆半径



图2 铣刀齿形


将式(2)代入式(1)，可得 wx=(p-4xtana)/2z+invax-inva (3)

因此，渐开线上半径为rx的任意点M 的坐标(xg，yg)为 { xg=rx sinwx
yg=rxcoswx
(4)

由此可求出曲线BD部分内各点的坐标值，这些点即为渐开线上的节点。
过渡曲线的处理
　　铣刀齿形由渐开线和过渡曲线(直线)组成。由于过渡曲线部分不参与啮合，因此只要不妨碍共轭齿轮(或齿条)齿顶的运转，可将其设计为任意曲线或直线。对过渡曲线(直线)的处理将决定程序绘制渐开线的起点。本程序只涉及渐开线部分的绘制，而过渡曲线部分则由后续人工处理。渐开线起点的确定可分为两种情况：
　　当rf≤rb时，基圆rb以上部分为渐开线，基圆以下的BC部分为过渡曲线，因此渐开线的起点从rb处开始，即齿形角ax=0。
　　当rf>rb时，基圆rb至齿根圆rf的部分为渐开线。齿根圆rf以下部分不参与啮合，没有必要采用渐开线，因此渐开线的起点从rf处开始，即齿形角ax=af。
无论上述哪种情况，渐开线的终点均在最大圆半径rd处，此时齿形角ax=ad。
程序设计任何曲线均可采用多段曲线段(或直线段)逼近的方法进行模拟，且线段细分越多，原理误差越小。本文采用渐开线直线逼近法，利用(xg，yg)求解公式，由AutoCAD内嵌的AutoLISP程序自动产生任意数量的节点，从而获得任意模拟精度的渐开线(此项精度满足8级齿轮加工精度即可)；然后用LINE命令自动生成误差很小的近似渐开线轮廓(该轮廓是连续的，以便于后续CAD/CAM 数控加工)。



图3 GEARTOOL 程序框图

该程序取名为GEARTOOL，其流程框图如图3所示(具体程序略)。

3 设计实例
　　本程序虽是在AutoCAD R14平台上开发的，但只涉及AutoLISP常用函数和AutoCAD常用命令，因此可在各种版本的AutoCAD 上运行。运行前应对绘图环境进行必要设置，如设置测量单位的小数位数(缺省为4位)等。设计时，只要输入齿数z、模数m和变位系数x，程序即可自动生成渐开线齿形轮廓。
以4 号齿轮铣刀(加工齿轮齿数z=21～25)的设计为例，程序使用方法如下：
COMMAND：GEARTOOL
z：输入所加工齿轮齿数21(按每一刀号的最小齿数)
m：输入所加工齿轮模数2
x<0>：输入所加工齿轮变位系数，标准齿轮变位系数为0
输入相关参数后，程序自动生成图4所示的渐开线齿形部分。本例中，齿根圆半径rf=0.5m(z-2.5)=18.5mm，基圆半径rb=0.5mzcosa=19.7335mm，属于rf

图4 齿形渐开线部分

图5 铣刀完整齿形

　　齿形渐开线部分设计完成后，手工加上过渡曲线，经后续处理后即得到如图5所示的铣刀完整齿形(图中C 点为齿根圆通过点)。
设计时，应注意以下几点：
　　虽然可在程序中加入相关命令实现直接生成完整齿形，但这样会使程序变得非常繁杂，不如用手工进行后续处理更为简便。进行后续处理时，线与线的连接处不能存在断点。
　　由于渐开线由极短的直线段组成，如需进行后续绘图操作，应在充分放大后进行。
　　如要求获得更高的渐开线齿形设计精度，只需将计算公式ax=ax+0.1p/180 中的系数0.1 减小即可。